题目内容

设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m、n,都有f(m)•f(n)=f(m+n),且当x<0时,f(x)>1.
(1)证明:①f(0)=1;②当x>0时,0<f(x)<1;③f(x)是R上的减函数;
(2)设a∈R,试解关于x的不等式f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)≥1.
分析:(1)①令m=n=0,即可求得f(0)=1;②利用当x<0时,f(x)>1与f(0)=1即可证得当x>0时,0<f(x)<1;③任取x1<x2,可求得f(x1-x2)=
f(x1)
f(x2)
>1
⇒f(x1)>f(x2),从而可证y=f(x)在定义域R上为减函数;
(2)逆用已知f(m)•f(n)=f(m+n),将f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)≥1转化为x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0,再解此不等式即可.
解答:解:(1)①证明:在f(m)•f(n)=f(m+n)中,
令m=n=0
得f(0)•f(0)=f(0+0)即f(0)=f(0)•f(0).
∴f(0)=0或f(0)=1,
若f(0)=0,则当x<0时,
有f(x)=f(x+0)=f(x)•f(0)=0,
与题设矛盾,
∴f(0)=1.
②当x>0时,-x<0,由已知得f(-x)>1,
又f(0)=f[x+(-x)]=f(x)•f(-x)=1,f(-x)>1,
∴0<f(x)=
f(0)
f(-x)
<1,即x>0时,0<f(x)<1.
③任取x1<x2,则f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)•f(x2),
∵x1-x2<0,
∴f(x1-x2)>1,又由(1)(2)及已知条件知f(x2)>0,
∴f(x1-x2)=
f(x1)
f(x2)
>1
∴f(x1)>f(x2),
∴y=f(x)在定义域R上为减函数.
(2)f(x2-3ax+1)•f(-3x+6a+1)=f(x2-3ax+1-3x+6a+1)=f[x2-3(a+1)x+2(3a+1)]
又f(0)=1,f(x)在R上单调递减,
∴原不等式等价于x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0
不等式可化为(x-2)[x-(3a+1)]≤0
当2<3a+1,即a>
1
3
时,不等式的解集为{x|2≤x≤3a+1};
当2=3a+1,即a=
1
3
时,(x-2)2≤0,不等式的解集为{2};
当2>3a+1,即a<
1
3
时,不等式的解集为{x|3a+1≤x≤2}.
点评:本题考查抽象函数及其应用,考查函数单调性的推理与证明,考查转化思想与分类讨论思想、方程思想的综合应用,属于难题.
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