Question

8．已知函数f（x）=$\frac{sin\frac{11π}{3}}{cos\frac{4π}{3}}$sin（2x+φ），0＜φ＜$\frac{π}{2}$，且f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-2m²+3m+$\sqrt{3}$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简函数f（x）的解析式，再根据 f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，求得φ的值，可得函数的解析式．再利用张弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得-$\frac{3}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$．再根据m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-2m²+3m+$\sqrt{3}$，可得m²-3m+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，且-2m²+3m+$\sqrt{3}$≥$\sqrt{3}$，由此求得m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{sin\frac{11π}{3}}{cos\frac{4π}{3}}$sin（2x+φ）=$\frac{sin（-\frac{π}{3}）}{-cos\frac{π}{3}}$•sin（2x+φ）=$\sqrt{3}$•sin（2x+φ），0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
又 f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，
∴2×$\frac{π}{12}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得 φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
而0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=$\sqrt{3}$•sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{3}$•sin（2x+$\frac{π}{3}$），∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
故$\sqrt{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）≤f（x）≤$\sqrt{3}$，即-$\frac{3}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$．
再根据m²-3m+$\frac{1}{2}$≤f（x）≤-2m²+3m+$\sqrt{3}$，可得m²-3m+$\frac{1}{2}$≤-$\frac{3}{2}$，且-2m²+3m+$\sqrt{3}$≥$\sqrt{3}$，
即 （m-1）（m-2）≤0，且 m（2m-3）≤0，求得1≤m≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查诱导公式、正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．