Question

（2009•孝感模拟）设A，B分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P为椭圆上不同于A，B的一个动点，直线PA，PB与椭圆右准线相交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q，使得

QM

•

QN

=0，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意，知a=2c，

a2

c

=4，求出a，b 即得出椭圆的方程
（2）设P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），设Q（t，0）利用向量坐标表示及数量积运算，由

QM

•

QN

=0，列出关于t的方程，判断出解得情况，解得答案．

解答：解：（1）由题意，知a=2c，=4，解得a=2，c=1，∴b=，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（2）设P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），则A（-2，0），B（2，0），
由A、P、M三点共线，得m=

3 3 sinθ

1+cosθ

…（7分）
由B、P、N三点共线，得n=

3 sinθ

cosθ-1

，…（9分）
设Q（t，0），则由

QM

•

QN

=0得
（t-4）（t-4）+（0-

3 3 sinθ

1+cosθ

）（0-

3 sinθ

cosθ-1

）=0，
整理得：（t-4）²-9=0      解得t=1或t=7
∴Q点的坐标是（7，0）或（1，0）．…（12分）

点评：本题考椭圆的方程求解，向量的运算，及探索性问题，用到了方程思想．