题目内容
【题目】已知曲线
：
与曲线
：
交于
，
两点，且
的周长为
．
（Ⅰ）求曲线的方程．
（Ⅱ）设过曲线焦点
的直线
与曲线交于
，
两点，记直线
，
的斜率分别为
，
．求证：
为定值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析．
【解析】
（Ⅰ）确定圆
的圆心和半径，根据
周长可求得
，由圆心到直线距离可确定弦
的一个端点坐标，代入抛物线方程求得
后即可得到结果；
（Ⅱ）设直线
，
，
，将
方程与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，利用
，代入韦达定理的结论整理可得定值.
（Ⅰ）曲线方程可整理为：
，则圆心
，半径
，
又曲线
，关于
轴对称，则
轴，
的周长为
，
，
到的距离
，故弦的一个端点坐标为
，
，解得：
，
抛物线
的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，由于直线不与轴重合，可设：
，
设，，
由
，消去整理得：
，
，
，
，
为定值
．
练习册系列答案
相关题目
