题目内容
【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是AC的中点,A1D⊥平面ABC,AB=BC,平面BB1D与棱A1C1交于点E.
(1)求证:AC⊥A1B;
(2)求证:平面BB1D⊥平面AA1C1C;
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(Ⅰ)推导出A1D⊥AC,BD⊥AC,从而AC⊥平面A1BD,由此能证明AC⊥A1B.
(Ⅱ)推导出A1D⊥BD,BD⊥AC,从而BD⊥平面A1ACC1,由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C.
证明:(1)因为 A1D⊥平面ABC,所以 A1D⊥AC.
因为△ABC中,AB=BC,D是AC的中点,所以 BD⊥AC.
因为 A1D∩BD=D,
所以 AC⊥平面A1BD.
所以 AC⊥A1B.
(2) 因为 A1D⊥平面ABC,
因为 BD平面ABC,所以 A1D⊥BD.
由(1)知 BD⊥AC.
因为 AC∩A1D=D,
所以 BD⊥平面A1ACC1.
因为 BD平面BB1D,
所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C.
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