题目内容

【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是AC的中点,A1D⊥平面ABC,AB=BC,平面BB1D与棱A1C1交于点E.

(1)求证:AC⊥A1B;

(2)求证:平面BB1D⊥平面AA1C1C;

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】

(Ⅰ)推导出A1D⊥AC,BD⊥AC,从而AC⊥平面A1BD,由此能证明AC⊥A1B.

(Ⅱ)推导出A1D⊥BD,BD⊥AC,从而BD⊥平面A1ACC1,由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C.

证明:(1)因为 A1D⊥平面ABC,所以 A1D⊥AC.

因为ABC中,AB=BC,D是AC的中点,所以 BD⊥AC.

因为 A1D∩BD=D,

所以 AC平面A1BD.

所以 AC⊥A1B.

(2) 因为 A1D⊥平面ABC,

因为 BD平面ABC,所以 A1D⊥BD.

由(1)知 BD⊥AC.

因为 AC∩A1D=D,

所以 BD平面A1ACC1

因为 BD平面BB1D,

所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C.

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