Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC.

(1)求证：AD⊥平面BCD；

(2)求三棱锥CABD的高．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析:(1)先根据勾股定理得AC⊥BC. 再根据面面垂直性质定理得BC⊥平面ACD，即得AD⊥BC. 最后根据线面垂直判定定理得结论(2)因为BC⊥平面ACD，所以根据等体积法以及锥体体积公式即得结果

试题解析:解：(1)证明：由已知得AC＝2，BC＝2，又AB＝4，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.

又∵平面ADC⊥平面ABC，

∴BC⊥平面ACD，∴AD⊥BC.

又AD⊥CD，BC∩CD＝C，∴AD⊥平面BCD.

(2)由(1)得AD⊥BD，

∴S△ADB＝×2×2＝2，

∵三棱锥BACD的高BC＝2，

S△ACD＝×2×2＝2，

∴×2h＝×2×2，解得h＝.

∴三棱锥CABD的高为.

点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.