Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为A₁D₁的中点，Q为A₁B₁上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值．则下面的四个结论中：
①点P到平面QEF的距离为定值；
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；
③二面角P-EF-Q的大小为定值；
④三棱锥P-QEF的体积为定值．
正确的是（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据线面角的定义，可判断B的大小；根据两条平行线共面，可以判断C答案的对错，根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可以判断D的对错，进而得到答案．
解答：解：①、QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是定的，所以P到平面QEF的距离是定值．
②、Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，所以就不是定值．
③、∵A₁B₁∥CD，Q为A₁B₁上任意一点，E、F为CD上任意两点，
∴二面角P-EF-Q的大小为定值
④、△QEF的面积是定值．（因为EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值）再根据1的结论P到QEF平面的距离也是定值，所以三棱锥的高也是定值，于是体积固定．
故选C
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．