Question

1．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；
（3）若对于任意实数t，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（0）=$\frac{-1+b}{2+a}$=0，f（1）=-f（-1），由此能求出a，b，可得函数f（x）的解析式；
（2）利用导数判断、证明函数f（x）的单调性；
（3）根据函数f（x）的单调性，结合奇函数的性质把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函数，
∴f（0）=$\frac{-1+b}{2+a}$=0，解得b=1．
又由f（1）=-f（-1）知$\frac{-2+1}{4+a}$=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+a}$，解得a=2，
∴f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$．
（2）f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=-$\frac{{2}^{x}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）∵f（x）是奇函数，
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k），
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∴由上式推得t²-2t＞-2t²+k，
即对一切t∈R有3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0，解得k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．