题目内容

6.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是(  )
A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]

分析 先根据圆的方程求得圆心坐标和圆心到已知直线的距离,进而可推断出与直线4x-3y-2=0距离是1的两个直线方程,分别求得圆心到这两直线的距离,分析如果与4x-3y+3=0相交 那么圆也肯定与4x-3y-7=0相交 交点个数多于两个,则到直线4x-3y-2=0的距离等于1的点不止2个,进而推断出圆与4x-3y+3=0不相交;同时如果圆与4x-3y-7=0的距离小于等于1 那么圆与4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交点个数和至多为1个 也不符合题意,最后综合可知圆只能与4x-3y-7=0相交,与4x-3y+3=0相离,进而求得半径r的范围.

解答 解:依题意可知圆心坐标为(3,-5),到直线的距离是5,
与直线4x-3y-2=0距离是1的直线有两个4x-3y-7=0和4x-3y+3=0,
圆心到4x-3y-7=0距离为$\frac{|12+15-7|}{\sqrt{16+9}}$=4 到4x-3y+3=0距离是$\frac{|12+15+3|}{\sqrt{16+9}}$=6.
如果圆与4x-3y+3=0相交,那么圆也肯定与4x-3y-7=0相交,
交点个数多于两个,于是圆上点到4x-3y-2=0的距离等于1的点不止两个,
所以圆与4x-3y+3=0不相交,
如果圆与4x-3y-7=0的距离小于等于1,那么圆与4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交点个数和至多为1个,
所以圆只能与4x-3y-7=0相交,与4x-3y+3=0相离,
所以4<r<6.
故选:A.

点评 本题主要考查了圆与圆的位置关系和判定.考查了学生分析问题和数形结合思想的运用.要求学生有严密的逻辑思维能力.

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