题目内容
【题目】如图,在几何体中,
,
,平面
平面
,
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)取中点
,连接
,
,由几何关系可证得四边形
是平行四边形,则
,结合线面平行的判断定理可得
平面
;
(Ⅱ)结合几何关系,以,
,
所在直线为
,
,
轴建立空间直角坐标系,由题意可得直线AB的方向向量为
,设平面
的法向量为
,则直线
与平面
所成角的正弦值为
.
试题解析:
(Ⅰ)取中点
,连接
,
,
又∵为
的中点,
,
,
∴,且
,
∴四边形是平行四边形,
∴,
而且平面
,
平面
,
∴平面
;
(Ⅱ)∵,平面
平面
,且交于
,
∴平面
,
由(Ⅰ)知,∴
平面
,
又∵,
为
中点,
∴,
如图,以,
,
所在直线为
,
,
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
∴,
,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,得
,
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
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