题目内容
【题目】已知.
(1)若关于的方程
在
上恒成立,求
的值;
(2)证明:当时,
.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析:(1)令,讨论
的取值,只需
即可;
(2)由(1)知时,
,即
恒成立,令
,即
,一次赋值
,再累加得
,再取对数即可.
试题解析:
(1)令,
若,与已知矛盾,
若,则
,显然不满足在
上
恒成立,
若,对
求导可得
,
由解得
,由
解得
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴, ∴要使
恒成立,则须使
成立,
即恒成立,两边取对数得,
,整理得
,即须此式成立,
令,则
,显然当
时,
,当
时,
,于是函数
的
上单调递减,在
单调递增,
∴,即当且仅当
时,
恒成立,
∴满足条件,综上所述,
.
(2)由(1)知时,
,即
恒成立,
令,即
,
即,同理,
,
,
,
将上式左右相加得: ,
即,即
.
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