题目内容
已知数列{an},an∈N*,前n项和Sn=(an+2)2.
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)若bn=an﹣30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)若bn=an﹣30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
解:(1)证明:∵an+1
=Sn+1﹣Sn
=(an+1+2)2﹣(an+2)2,
∴8an+1=(an+1+2)2﹣(an+2)2,
∴(an+1﹣2)2﹣(an+2)2=0,(an+1+an)(an+1﹣an﹣4)=0.
∵an∈N*,∴an+1+an≠0,
∴an+1﹣an﹣4=0.
即an+1﹣an=4,∴数列{an}是等差数列.
(2)由(1)知a1=S1=(a1+2),解得a1=2.∴an=4n﹣2,
bn=an﹣30=2n﹣31,(以下用两种方法求解)
法一:
由bn=2n﹣31可得:首项b1=﹣29,公差d=2
∴数列{bn}的前n项和sn=n2﹣30n=(n﹣15)2﹣225
∴当n=15时,sn=225为最小;
法二:
由得
≤n<.∵n∈N*,∴n=15,
∴{an}前15项为负值,以后各项均为正值.
∴S5最小.又b1=﹣29,
∴S15==﹣225
=Sn+1﹣Sn
=(an+1+2)2﹣(an+2)2,
∴8an+1=(an+1+2)2﹣(an+2)2,
∴(an+1﹣2)2﹣(an+2)2=0,(an+1+an)(an+1﹣an﹣4)=0.
∵an∈N*,∴an+1+an≠0,
∴an+1﹣an﹣4=0.
即an+1﹣an=4,∴数列{an}是等差数列.
(2)由(1)知a1=S1=(a1+2),解得a1=2.∴an=4n﹣2,
bn=an﹣30=2n﹣31,(以下用两种方法求解)
法一:
由bn=2n﹣31可得:首项b1=﹣29,公差d=2
∴数列{bn}的前n项和sn=n2﹣30n=(n﹣15)2﹣225
∴当n=15时,sn=225为最小;
法二:
由得
≤n<.∵n∈N*,∴n=15,
∴{an}前15项为负值,以后各项均为正值.
∴S5最小.又b1=﹣29,
∴S15==﹣225
略
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