Question

【题目】通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律\left(f(t)越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知：

(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?

(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中?

(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?

Answer 1

【答案】（1）讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟；（2）讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中；（3）经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.

【解析】试题分析：应用问题首先要认真细致的读题审题，本题为分段函数问题，根据分段函数问题分段处理原则，针对每一段函数根据相应的定义域要求，求出每一段的最大值，再比较得出最大值；比较两个函数值的大小，按两个自变量的大小，分别对号入座，求出相应的函数值后，再比较大小；分段函数解不等式问题，在每段的定义域下分别解不等式，再取三段的解集的并集.

试题解析：

(1)当0<t10时,f(t)=t2+24t+100

=(t12)2+244是增函数,且f(10)=240；

当20<t40时,f(t)=7t+380是减函数，

且f(20)=240.

所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟。

(2)f(5)=195,f(25)=205，

故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中。

(3)当0<t10时,f(t)=t2+24t+100=180，则t=4；

当20<t40时,令f(t)=7t+380=180，

t≈28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间

28.574=24.57>24，

所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题。

【点精】应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.本题为分段函数问题，根据分段函数问题分段处理原则，分段函数涉及到定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、解方程和解不等式诸多问题，分段函数的定义域为各段定义域的并集，求最值时，针对每一段函数根据相应的定义域要求，求出每一段的极大值，再比较得出最大值；比较两个函数值的大小，按两个自变量的大小，分别对号入座，求出相应的函数值后，再比较大小；分段函数解不等式问题，在每段的定义域下分别解不等式，再取三段的解集的并集；