若函数f(x)在定义域的某子区间上满足f(x)=$\frac{1}{λ}f.则称其为λ-局部倍缩函数．若函数f=sinπx.且x∈为λ=2的局部倍缩函数．现有下列4个命题:①任取x1.x2∈[0.+∞).都有|f(x1)-f(x2)|≤2恒成立,②f(k∈N*).对于一切x∈[0.+∞)恒成立,③函数y=f有5个零点,④对任意x＞0.若不等式f(x)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

19．若函数f（x）在定义域的某子区间上满足f（x）=$\frac{1}{λ}f（{x-λ}）$（λ为正实数），则称其为λ-局部倍缩函数．若函数f（x）在x∈[0，2]时，f（x）=sinπx，且x∈（2，+∞）时，f（x）为λ=2的局部倍缩函数．现有下列4个命题：
①任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N^*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③函数y=f（x）-ln（x-1）有5个零点；④对任意x＞0，若不等式f（x）≤$\frac{k}{x}$恒成立，则k的最小值是$\frac{5}{4}$．
则其中所有真命题的序号是①④．

分析作出f（x）=$\stackrel{\left\{\begin{array}{l}{sinπx，}&{x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2）}&{x∈（2，+∞）}\end{array}\right.}{\;}$的图象，利用图象可得结论．

解答解：f（x）=$\stackrel{\left\{\begin{array}{l}{sinπx，}&{x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2）}&{x∈（2，+∞）}\end{array}\right.}{\;}$的图象如图所示：
①f（x）的最大值为1，最小值为-1，∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，正确；
②f（$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{1}{2}$+2）=4f（$\frac{1}{2}$+4）=8f（$\frac{1}{2}$+6）≠8f（$\frac{1}{2}$+8），故不正确；
③如图所示，函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；③错误
④把（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$）代入，可得k＞$\frac{5}{4}$，正确．
故答案为：①④．

点评本题考查分段函数的应用，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．属于中档题

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