在数列{an}中.a1=1.3an•an-1+an-an-1=0(n≥2.n∈N*)(1)试判断数列{$\frac{1}{{a} {n}}$}是否为等差数列,(2)设{bn}满足bn=$\frac{1}{{2}^{n}•{a} {n}}$.求数列{bn}的前n项和Sn,(3)若λan+$\frac{1}{{a} {n+1}}$≥λ.对任意n≥2的整数恒成立.求实数λ的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．在数列{a_n}中，a₁=1，3a_n•a_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*）
（1）试判断数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是否为等差数列；
（2）设{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{2}^{n}•{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若λa_n+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

分析（1）由已知得$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3，由此得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）求出b_n=$\frac{1}{{2}^{n}•{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}•\frac{1}{3n-2}}$=$\frac{3n-2}{{2}^{n}}$，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．
（3）原命题等价于$λ≤\frac{（3n+1）（3n-2）}{3n-3}$对任意n≥2的整数恒成立，由此能求出λ的取值范围．

解答解：（1）∵在数列{a_n}中，a₁=1，3a_n•a_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}$=3，又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）∵数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
∵b_n=$\frac{1}{{2}^{n}•{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}•\frac{1}{3n-2}}$=$\frac{3n-2}{{2}^{n}}$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{4}{{2}^{2}}+\frac{7}{{2}^{3}}+…+\frac{3n-2}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{4}{{2}^{3}}+\frac{7}{{2}^{4}}+…+\frac{3n-2}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{S}_{n}^{\;}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{3}{{2}^{n}}-\frac{3n-2}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{3}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{3n-2}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=4-（3n+4）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
（3）将a_n=$\frac{1}{3n-2}$代入λa_n+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$≥λ，并整理得$λ（1-\frac{1}{3n-2}）≤3n+1$，
∴$λ≤\frac{（3n+1）（3n-2）}{3n-3}$，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．
设${C}_{n}=\frac{（3n+1）（3n-2）}{3n-3}$，
则${C}_{n+1}-{C}_{n}=\frac{（3n+1）（3n-4）}{3n（n-1）}＞0$，故C_n+1＞C_n，
∴C_n的最小值为C₂=$\frac{28}{3}$，∴λ的取值范围是（-∞，$\frac{28}{3}$]．