[题目]已知抛物线的焦点为.过的直线交抛物线于.两点(1)若以.为直径的圆的方程为.求抛物线的标准方程,(2)过.分别作抛物线的切线..证明:.的交点在定直线上. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点

（1）若以，为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程；

（2）过，分别作抛物线的切线，，证明：，的交点在定直线上.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由抛物线的定义求出，可得抛物线方程

（2）利用导数求出过、两点的切线方程，并求出其交点.再由直线与抛物线联立得到、两点的坐标关系.带入交点坐标，可得所求定直线.

（1）设中点为,到准线的距离为，到准线的距离为，到准线的距离为.则

由抛物线的定义可知，,所以

由梯形中位线可得

所以，而，所以，可得

∴抛物线

（2）设，

由得则

所以直线方程为，直线方程为

联立得，，即，交点坐标为

因为过焦点

所以设直线方程为代入抛物线中得

∴

所以

所以，的交点在定直线上

练习册系列答案

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