题目内容
【题目】已知椭圆C：
的两个焦点分别为
，
，点P是椭圆上的任意一点，且
的最大值为4，椭圆C的离心率与双曲线
的离心率互为倒数．
Ⅰ
求椭圆C的方程；
Ⅱ设点
，过点P作两条直线
，
与圆
相切且分别交椭圆于M，N，求证：直线MN的斜率为定值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
Ⅰ
利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出a，b，然后求解椭圆方程．
Ⅱ直线
，
的斜率存在，设为
，
，
，
，直线，与圆相切，则有
，直线的方程为直线的方程为
，与椭圆方程联立，求出
，同理
，当与椭圆相交时，然后求解直线的斜率即可．
解：Ⅰ双曲线
的离心率为
，
可得椭圆C的离心率为
，设椭圆的半焦距为c，
，
，
，
，
又
椭圆方程为；
Ⅱ证明：显然两直线，的斜率存在，
设为，，，，
由于直线，与圆
相切，则有，
直线的方程为，
联立椭圆方程
，
消去y，得
，
，M为直线与椭圆的交点，所以
，
同理，当与椭圆相交时，
，
，而
，
直线MN的斜率
．
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