题目内容
14.函数y=$\frac{1-sinx}{sinx+cosx}$(0≤x≤$\frac{π}{2}$)的最大值与最小值分别为( )A. | 1,-1 | B. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | 1,0 | D. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$,0 |
分析 首先,求解所给函数的导数,然后,判断导数值的正和负,从而得到原函数的单调性,最后,确定其最大值和最小值.
解答 解:∵y=$\frac{1-sinx}{sinx+cosx}$,
∴y′=$\frac{-cosx(sinx+cosx)-(1-sinx)(cosx-sinx)}{(sinx+cosx)^{2}}$
=-$\frac{1+cosx-sinx}{(sinx+cosx)^{2}}$
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$,
∴-$\frac{1+cosx-sinx}{(sinx+cosx)^{2}}$<0,
∴函数y=$\frac{1-sinx}{sinx+cosx}$在[0,$\frac{π}{2}$]上为减函数,
∴当x=0时,函数取得最大值为1,
当x=,$\frac{π}{2}$时,函数取得最小值为0,
故选:C.
点评 本题重点考查了导数的计算、运算法则、函数的导数与单调性的关系,属于中档题.
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