题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)四边形的顶点在椭圆上,且对角线
、
过原点
,若
,求证;四边形
的面积为定值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)通过离心率,可得与
的关系;再利用点
,得到
与
的关系;通过方程组求得椭圆方程;(2)假设直线
方程,与椭圆方程联立,通过根与系数关系可得
和
的关系;再结合椭圆的对称性,将四边形
面积转化为求解
的面积。利用弦长公式和点到直线距离公式,将
表示出来,整理为定值,从而可证得四边形
面积为定值。
由题意,
,又
解得:,
椭圆的标准方程为
(2)①当直线斜率不存在时,设直线
方程为
设,
又
②当直线斜率存在时,设直线
的方程为
设,
联立,得
……①
,
,即
,
又
整理可得:
设原点到直线的距离为
,则
综上所述,四边形面积为定值
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