题目内容
【题目】如图,,
是某景区的两条道路(宽度忽略不计,
为东西方向),Q为景区内一景点,A为道路
上一游客休息区,已知
,
(百米),Q到直线
,
的距离分别为3(百米),
(百米),现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路
于点B,并在B处修建一游客休息区.
(1)求有轨观光直路的长;
(2)已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉,喷泉表演一次的时长为9分钟,表演时,喷泉喷洒区域以P为圆心,r为半径变化,且t分钟时,(百米)(
,
).当喷泉表演开始时,一观光车S(大小忽略不计)正从休息区B沿(1)中的轨道
以
(百米/分钟)的速度开往休息区A,问:观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到,并说明理由.
【答案】(1);(2)喷泉的水流不会洒到观光车上,理由见解析
【解析】
(1)建立如图平面直角坐标系,易得,直线
的方程为
,
,由点到直线距离,求出
,从而直线
的方程为
,联产方程组求出
的坐标,由此能求出轨道的长;
(2)将喷泉记为圆,由题意得
,生成
分钟时,观光车在线段AB上的点C处,则
,
,从而
,若喷泉不会洒到观光车上,则
对
恒成立,由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.
(1)以点O为坐标原点,直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
则由题设得:,直线
的方程为
,
(
).
由,解得
,所以
.
故直线的方程为
,
由得
即,故
,
答:水上旅游线的长为
.
(2)将喷泉记为圆P,由题意可得,
生成t分钟时,观光车在线段上的点C处,
则,
,所以
.
若喷泉不会洒到观光车上,则对
恒成立,
即,
当时,上式成立,
当时,
,
,当且仅当
时取等号,
因为,所以
恒成立,即喷泉的水流不会洒到观光车上.
答:喷泉的水流不会洒到观光车上.
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