Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$，（其中a＞0，且 a≠1）．
（1）求证f²（x）+g²（x）=g（2x）；
（2）判断函数f（x）和g（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据指数幂的运算法则进行化简即可证明．
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）f²（x）+g²（x）=（$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$）²+（$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$）²=$\frac{{a}^{2x}-2+{a}^{-2x}}{4}$+$\frac{{a}^{2x}+2+{a}^{-2x}}{4}$=$\frac{{a}^{2x}+{a}^{-2x}}{2}$=g（2x）．
（2）f（-x）=$\frac{{a}^{-x}-{a}^{x}}{2}$=-$\frac{{a}^{x}-{a}^{-x}}{2}$=-f（x），则f（x）为奇函数，
g（-x）=$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$=g（x），则g（x）为偶函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断以及等式的证明，比较基础．