题目内容

在如图所示的几何体中,是边长为的正三角形,,平面,平面平面,,且.

(1)证明://平面
(2)证明:平面平面
(3)求该几何体的体积.

(1)详见解析;(2)详见解析;(3)

解析试题分析:(1)取的中点,根据等腰三角形中线即为高线可得,又因为面平面,根据面面垂直的性质定理可得平面,已知平面,所以,根据线面平行的判定定理可得//平面。(2)因为,且,斜边中线,又因为可证得是平行四边形,可得,根据线面垂直的判定定理可证得平面,即平面,从而可得,又因为即可证得平面,从而证得平面平面。(3)根据前两问的条件可证得平面,从而可将此几何体分割为以四边形为底面的两个四棱锥,然后再求其体积。
试题解析:证明:
(1) 取的中点,连接,

由已知,可得:
又因为平面⊥平面,平面平面
所以平面
因为平面, 所以, 
又因为平面,平面
所以平面.                                      4分
(2)由(1)知,又, ,
所以四边形是平行四边形,则有, 
由(1)得,又,
平面, 所以平面, 

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