题目内容

18．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为$\sqrt{2}$．
其中正确的结论是（　　）?
A．①④B．②③C．①②④D．①②③④

分析 ①当点E，F分别为AC，CB的中点时，四边形CEDF为正方形，即可判断出正误；
②如图所示，建立直角坐标系，设E（a，0），则F（0，4-a），D（2，2），于是$\overrightarrow{DF}$=（-2，2-a），$\overrightarrow{DE}$=（a-2，-2），计算$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{DE}$=0，可得$\overrightarrow{DE}⊥\overrightarrow{DF}$，又$|\overrightarrow{DE}|$=$|\overrightarrow{DF}|$=$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$，即可判断出正误；
③四边形CEDF的面积=S△ABC-S△ADE-S△BDF=$\frac{1}{2}×{4}^{2}$-$\frac{1}{2}×AD×AEsin4{5}^{°}$-$\frac{1}{2}×BD×BFsin4{5}^{°}$，即可判断出正误；
④设点C到线段EF的距离为h，利用S△CEF=$\frac{1}{2}CE•CF$=$\frac{1}{2}h•EF$，可得$h=\frac{CE•CF}{\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}}$，设CE=x，则CF=4-x，可得h=$\frac{4x-{x}^{2}}{\sqrt{2{x}^{2}-8x+16}}$，令4x-x2=t∈（0，4]，则h（x）=g（t）=$\frac{t}{\sqrt{16-2t}}$，g2（t）=$\frac{{t}^{2}}{16-2t}$=f（t），利用导数研究其单调性极值与最值，即可判断出正误．

解答 解：①当点E，F分别为AC，CB的中点时，四边形CEDF为正方形，正确；
②如图所示，建立直角坐标系，设E（a，0），则F（0，4-a），D（2，2），于是$\overrightarrow{DF}$=（-2，2-a），$\overrightarrow{DE}$=（a-2，-2），
∴$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{DE}$=-2（a-2）-2（2-a）=0，∴$\overrightarrow{DE}⊥\overrightarrow{DF}$，又$|\overrightarrow{DE}|$=$|\overrightarrow{DF}|$=$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$，因此△DFE可以是等腰直角三角形，正确；
③四边形CEDF的面积=S△ABC-S△ADE-S△BDF=$\frac{1}{2}×{4}^{2}$-$\frac{1}{2}×AD×AEsin4{5}^{°}$-$\frac{1}{2}×BD×BFsin4{5}^{°}$=8-$\frac{\sqrt{2}}{2}（AE+BF）$=$8-\frac{\sqrt{2}}{2}×4$=8-2$\sqrt{2}$是定值，因此正确；
④设点C到线段EF的距离为h，∵S△CEF=$\frac{1}{2}CE•CF$=$\frac{1}{2}h•EF$，∴$h=\frac{CE•CF}{\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}}$，设CE=x，则CF=4-x，∴h=$\frac{x（4-x）}{\sqrt{{x}^{2}+（4-x）^{2}}}$=$\frac{4x-{x}^{2}}{\sqrt{2{x}^{2}-8x+16}}$，令4x-x2=t∈（0，4]，则h（x）=g（t）=$\frac{t}{\sqrt{16-2t}}$，g2（t）=$\frac{{t}^{2}}{16-2t}$=f（t），f′（t）=$\frac{2t（16-2t）-（-2）{t}^{2}}{（16-2t）^{2}}$=$\frac{2t（16-t）}{（16-2t）^{2}}$＞0，∴函数f（t）在t∈（0，4]上单调递增，∴f（t）max=f（4）=$\frac{16}{16-8}$=2，
因此g（t）即h的最大值为$\sqrt{2}$，正确．
故选：D．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、等腰直角三角形的性质、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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