Question

8．已知抛物线C：y²=4x，点M（-1，1），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，则实数k的值为2．

Answer 1

分析 由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x-1），然后联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$可得，k²x²-2（2+k²）x+k²=0，可表示x₁+x₂，x₁x₂，y₁+y₂，y₁y₂，由$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，代入整理可求k．

解答 解：∵抛物线C：y²=4x的焦点F（1，0），
∴过A，B两点的直线方程为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$可得，k²x²-2（2+k²）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2（2+{k}^{2}）}{{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=-4，
∵M（-1，1），
∴$\overrightarrow{MA}$=（x₁+1，y₁-1），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+1，y₂-1），
∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
∴（x₁+1）（x₂+1）+（y₁-1）（y₂-1）=0，
整理可得，x₁x₂+（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+2=0，
∴1$+2+\frac{4}{{k}^{2}}-4-\frac{4}{k}+2$=0，
即k²-4k+4=0，
∴k=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．