Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，P是曲线上的动点，M为线段OP的中点，设点M的轨迹为曲线．

（1）求的极坐标方程；

（2）若射线与曲线异于极点的交点为A，与曲线异于极点的交点为B，求．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）设，则由条件知，由P是曲线上的动点，代入可得的极坐标方程；

（2）将代入曲线极坐标方程可得极径为，将代入曲线极坐标方程可得极径为，可得，可得答案.

解：（1）设，则由条件知，

由于P点在曲线上，所以，

所以，，

从而的极坐标方程为．

（2）曲线的极坐标方程为，

当时，代入曲线的极坐标方程，解得，

所以射线与的交点A的极径为，

曲线的极坐标方程为．

同理可得射线与的交点B的极径为．

所以．