题目内容
【题目】已知抛物线E:上一点M
到焦点F的距离为5.
(1)求抛物线E的方程;
(2)直线与圆C:
相切且与抛物线E相交于A,B两点,若△AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线
的方程.
【答案】(1)y2=4x;(2).
【解析】
(1)由抛物线的定义求出p的值,即可得出抛物线的方程;
(2)设直线l的方程为x=my+n,设点A(x1,y1)、B(x2,y2),根据直线l与圆C相切得出m与n所满足的第一个关系式,将直线l的方程联立,列出韦达定理,计算出|AB|以及原点O到直线l的距离d,然后利用三角形的面积公式计算出△AOB的面积,得出m与n所满足的第二个关系式,然后将两个关系式联立,求出m和n的值,即可得出直线l的方程.
(1)由抛物线的定义知,所以,p=2,
因此,抛物线E的方程为y2=4x;
(2)由题意知,直线l与y轴不垂直,设直线l的方程为x=my+n.
∵直线l与圆C相切,又圆C的圆心为(2,0),所以,,∴4m2=n2﹣4n,
设点A(x1,y1)、B(x2,y2),由,消去x得,y2﹣4my﹣4n=0,
由韦达定理得y1+y2=4m,y1y2=﹣4n.
则
,
又原点O到直线l的距离为,
∴,
∴,∴(m2+n)n2=4,
又4m2=n2﹣4n,解得n=±2.
当n=2时,m2=﹣1不成立;
当n=﹣2时,m2=3,∴.
经检验,所求直线方程为,即
.

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