Question

【题目】操场上有100个人排成一圈，按顺时针方向依次标为，，…，．主持人将编号为l，2，…，50的纪念品按照以下方式依次分发给众人：先将第l号纪念品交给；然后顺时针跳过1个人，将第2号纪念品交给；再顺时针跳过2个人，将第3号纪念品交给，……第次顺时针跳过个人，将第号纪念品交给，其中，，如此下去，直到纪念品发完为止．试求得到纪念品最多的人及其所得纪念品的编号．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

记第个与第个纪念品为同一人所得．则，

即．

显然，，且与的奇偶性不同．

（1）如果，则．

（i）若，则．

又，故．

所以，，其中，，1，…，；，2．

经计算，，，，，．

（ii）若，则．

由．

故，，，，，．

（2）如果，则．

（i）若，则．

故，．

（ii）若，则，75．

故，，，，．

综上，与分别被与得到，其余各人至多得到2个纪念品．