题目内容
【题目】已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形,以椭圆
的长轴长为直径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆
相交于
两点,探究在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出定值和点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)定点为
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆几何意义得,再根据圆心到切线距离等于半径得
,解得
,
(2)先根据向量数量积化简
,再联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代人化简得
,最后根据k的任意性确定点
的坐标及定值
试题解析:(1)由题意知, ,解得
,
则椭圆的方程为
.
(2)当直线的斜率存在时,设直线,
联立,得
,
∴.
假设轴上存在定点
,使得
为定值,
∴
.
要使为定值,则
的值与
无关,∴
,
解得,此时
为定值,定点为
.
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