题目内容
设椭圆的方程为
，斜率为1的直线不经过原点
，而且与椭圆相交于
两点，
为线段
的中点.
（1）问：直线
与
能否垂直？若能，
之间满足什么关系；若不能，说明理由；
（2）已知为
的中点，且
点在椭圆上.若
，求椭圆的离心率.
（1）直线
与
不能垂直；（2）
【解析】
试题分析：（1）设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，消去
整理为关于
的一元二次方程，因为有两个交点则判别式应大于0，由韦达定理可得根与系数的关系，用中点坐标公式求点
的坐标。求出直线
的斜率，假设两直线垂直则斜率相乘等于
，解出
的关系式，根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，∴四边形OANB为平行四边形.
∵
，∴四边形OANB为矩形，∴
，转化为向量问题，可得
的关系式。由中点坐标公式可得点
的坐标，将其代入椭圆方程，与上式联立消去
即可得
之间满足的关系式。将
代入之间的关系式，可求其离心率。
试题解析：解答：（1）∵斜率为1的直线不经过原点
，而且与椭圆相交于
两点，
∴可以设直线的方程为.
∵
，∴
，
∴
. ① 1分
∵直线
与椭圆相交于
两点，∴
. ② 2分
且
. ③ 3分
∵
为线段
的中点，∴
,
∴
，∴
. 4分
假设直线
与
能垂直.
∵直线
的斜率为1，∴直线
的斜率为-1，
∴
，∴
. 5分
∵在椭圆方程
中，
，
∴假设不正确，在椭圆中直线与不能垂直. 6分
（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，∴四边形OANB为平行四边形.
∵，∴四边形OANB为矩形，∴， 7分
∴
，∴
，∴
，
∴
，
∴
，整理得
. 8分
∵
点在椭圆上，∴
，∴
. 9分
此时
，满足
，
消去
得
，即
. 10分
设椭圆的离心率为e，则
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，∵
，∴.
考点：1直线与椭圆的位置关系；2直线垂直时斜率的关系；3转化思想。
