Question

5．设各项均为正数的数列{a_n}满足$\frac{S_n}{a_n}$=pn+r（p，r为常数），其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若p=1，r=0，求证：{a_n}是等差数列；
（2）若p=$\frac{1}{3}$，a₁=2，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若a₂₀₁₅=2015a₁，求p•r的值．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）利用递推关系与“累乘求积”即可得出；
（3）利用递推关系，对q分类讨论即可得出．

解答 （1）证明：由p=1，r=0，得S_n=na_n，
∴S_n-1=（n-1）a_n-1（n≥2），
两式相减，得a_n-a_n-1=0（n≥2），
∴{a_n}是等差数列．
（2）解：令n=1，得p+r=1，∴$r=\frac{2}{3}$，
则${S_n}=（\frac{1}{3}n+\frac{2}{3}）{a_n}$，
∴${S_{n-1}}=（\frac{1}{3}n+\frac{1}{3}）{a_{n-1}}（n≥2）$，两式相减，
得$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{n+1}{n-1}（n≥2）$，
∴$\frac{a_2}{a_1}•\frac{a_3}{a_2}•\frac{a_4}{a_3}…\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{3}{1}•\frac{4}{2}•\frac{5}{3}…\frac{n+1}{n-1}$，
化简得$\frac{a_n}{a_1}=\frac{n（n+1）}{1•2}（n≥2）$，
∴${a_n}={n^2}+n（n≥2）$，
又a₁=2适合${a_n}={n^2}+n（n≥2）$，
∴${a_n}={n^2}+n$．
（3）解：由（2）知r=1-p，
∴S_n=（pn+1-p）a_n，得S_n-1=（pn+1-2p）a_n-1（n≥2），
两式相减，得p（n-1）a_n=（pn+1-2p）a_n-1（n≥2），
易知p≠0，∴$\frac{a_n}{pn+1-2p}=\frac{{{a_{n-1}}}}{p（n-1）}（n≥2）$．
①当$p=\frac{1}{2}$时，得$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}（n≥2）$，
∴$\frac{{{a_{2015}}}}{2015}=\frac{{{a_{2014}}}}{2014}=…=\frac{a_1}{1}$，
满足a₂₀₁₅=2015a₁；  
②当$p＞\frac{1}{2}$时，由p（n-1）a_n=（pn+1-2p）a_n-1（n≥2），又a_n＞0，
∴p（n-1）a_n＜pna_n-1（n≥2），即$\frac{a_n}{n}＜\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}（n≥2）$，
∴$\frac{{{a_{2015}}}}{2015}＜\frac{a_1}{1}$，不满足a₂₀₁₅=2015a₁；
③当$p＜\frac{1}{2}$且p≠0时，类似可以证明a₂₀₁₅=2015a₁也不成立；
综上所述，$p=\frac{1}{2}$，$r=\frac{1}{2}$，∴$pr=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了递推关系与“累乘求积”、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．