Question

14．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中E是AA₁的中点，F是A₁B₁的中点，证明：BF⊥面B₁C₁E．

Answer 1

分析 经E点作EG∥AB角BB₁与点G，设BF∩EB₁=H，由∠FBB₁=30°，∠BB₁E=60°，可求BF⊥EB₁，由C₁B₁⊥面ABA₁B₁，可得C₁B₁⊥BF，即可证明BF⊥面B₁C₁E．

解答 证明：如图，经E点作EG∥AB角BB₁与点G，设BF∩EB₁=H，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中E是AA₁的中点，F是A₁B₁的中点，
∴∠FBB₁=30°，∠BB₁E=60°，在△BB₁H中，可得：∠BHB₁=90°，即：BF⊥EB₁，
又∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，C₁B₁⊥面ABA₁B₁，BF?面ABA₁B₁，
∴C₁B₁⊥BF，
∵C₁B₁∩EB₁=B₁，
∴BF⊥面B₁C₁E．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．