Question

6．若实数x、y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{3x+4y-12≤0}\\{y≥a（x-1）}\end{array}\right.$，若使得目标函数z=$\frac{y+1}{x+1}$有最小值的最优解为无穷多个，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意画出可行域，结合z=$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义可得，若使得目标函数z=$\frac{y+1}{x+1}$有最小值的最优解为无穷多个，则过定点（1，0）的动直线需过定点（-1，-1），然后由两点求斜率得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{3x+4y-12≤0}\\{y≥a（x-1）}\end{array}\right.$作出可行域如图，

z=$\frac{y+1}{x+1}$=$\frac{y-（-1）}{x-（-1）}$，几何意义为可行域内动点与定点P（-1，-1）连线的斜率，
要使目标函数z=$\frac{y+1}{x+1}$有最小值的最优解为无穷多个，则过定点（1，0）的直线y=a（x-1）过定点P（-1，-1），
由k=$\frac{-1-0}{-1-1}=\frac{1}{2}$，可知直线y=a（x-1）的斜率为$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．