Question

18．已知在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA．
（1）若cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求证：2a-3c=0；
（2）若B∈（0，$\frac{π}{3}$），且cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）化简sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA可得tanA=$\sqrt{3}$，又A为三角形内角．可求sinA的值，又cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，C为三角形内角，可求sinC的值，由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R，代入等式右边即可证明．
（2）由B∈（0，$\frac{π}{3}$），可求cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$，由cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，利用同角三角函数关系式化简即可求值．

解答 解：（1）证明：∵sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA
⇒$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=2cosA
⇒sinA=$\sqrt{3}$cosA
⇒tanA=$\sqrt{3}$，A为三角形内角．
⇒A=$\frac{π}{3}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
又∵cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，C为三角形内角，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵由正弦定理可得：a=sinA•2R，c=sinC•2R
∴2a-3c=2R×$2×\frac{\sqrt{3}}{2}$-3×$\frac{\sqrt{3}}{3}×2R$=2$\sqrt{3}R$-2$\sqrt{3}R$=0．从而得证．
（2）∵B∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴A-B=$\frac{π}{3}$-B∈（0，$\frac{π}{3}$），
∵sin²（A-B）+cos²（A-B）=1，cos（A-B）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（A-B）=$\frac{3}{5}$，
则sinB=sin[A-（A-B）]=sinAcos（A-B）-cosAsin（A-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}$-$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．