Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 根据x的取值范围，求出2x+$\frac{π}{4}$的取值范围，计算cos（2x+$\frac{π}{4}$）的取值范围，即得f（x）的最大最小值．

解答 解：∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
当2x+$\frac{π}{4}$=0，即x=-$\frac{π}{8}$时，cos（2x+$\frac{π}{4}$）=cos0=1，
∴f（x）取得最大值$\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$；
当2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{3π}{4}$，即x=-π时，cos（2x+$\frac{π}{4}$）=cos（-$\frac{3π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）取得最小值$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1；
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值是$\sqrt{2}$，最小值是-1．

点评 本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，考查了求三角函数在闭区间上的最值的应用问题，是基础题目．