题目内容
10.如图所示的多面体中,ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED⊥面ABCD,∠BAD=$\frac{π}{3}$.(1)求证:BC∥平面AED;
(2)求证:AC⊥面BDEF;
(3)若BF=BD=a,求四棱锥A-BDEF的体积.
分析 (1)ABCD是菱形,可得BC∥AD,即可证明BC∥平面AED;
(2)证明AC⊥BD,ED⊥AC,即可证明AC⊥面BDEF;
(3)证明△ABD为等边三角形,利用棱锥的体积公式求四棱锥A-BDEF的体积.
解答 (1)证明:∵ABCD是菱形,
∴BC∥AD,
∵BC?面ADE,AD?面ADE,
∴BC∥面ADE;
(2)证明:连接AC,AC∩BD=O
∵ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵ED⊥面ABCD,AC?面ABCD,
∴ED⊥AC,
∵ED∩BD=D,
∴AC⊥面BDEF;
(3)解:∵ABCD是菱形,∠BAD=$\frac{π}{3}$,
∴△ABD为等边三角形,
∵BF=BD=a,
∴AD=a,AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a,
∴四棱锥A-BDEF的体积=$\frac{1}{3}{S}_{BDEF}•AO$=$\frac{1}{3}•{a}^{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^{3}$.
点评 本题考查线面平行、垂直的判定,考查四棱锥的体积,考查学生分析解决问题的能力,正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键.
练习册系列答案
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A. | (-∞,1] | B. | (-∞,0)∪(0,1) | C. | (-∞,0)∪(0,1] | D. | [1,+∞) |