题目内容
【题目】如图，已知
是椭圆
的一个顶点，
的短轴是圆
的直径，直线
，
过点P且互相垂直，交椭圆于另一点D，交圆
于A，B两点
Ⅰ
求椭圆的标准方程；
Ⅱ求
面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
Ⅰ
由题意可得，
，然后求解椭圆
的标准方程．
Ⅱ因为直线
，
过点P且互相垂直，可设：
，：
，求出圆心O到直线的距离以及AB，直线与圆O有两个交点，推出
，联立
，转化求解PD的距离，求出三角形的面积，通过二次函数的性质求解面积的最大值．
Ⅰ由题意
是椭圆
的一个顶点，的短轴是圆
的直径，
可得，，
则椭圆的标准方程为．
Ⅱ因为直线，过点P且互相垂直，可设：，：，
圆心O到直线的距离
，
．
直线与圆O有两个交点，
，所以，
又由，可得
．
．
所以
．
令
，
，则
，
，
当
，即
时，
有最大值为．
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