某地区有100户农民.都从事水产养殖．据了解.平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构.当地政府决定动员部分农民从事水产加工．据估计.如果能动员x户农民从事水产加工.那么剩下的继续从事水产养殖的农民平均每户的年收入有望提高2x%.而从事水产加工的农民平均每户的年收入将为$3$万元．(1)在动员x户农民� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．某地区有100户农民，都从事水产养殖．据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事水产加工．据估计，如果能动员x（x＞0）户农民从事水产加工，那么剩下的继续从事水产养殖的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事水产加工的农民平均每户的年收入将为$3（a-\frac{3x}{50}）（a＞0）$万元．
（1）在动员x户农民从事水产加工后，要使从事水产养殖的农民的总年收入不低于动员前从事水产养殖的农民的总年收入，求x的取值范围；
（2）若0＜x≤25，要使这100户农民中从事水产加工的农民的总年收入始终不高于从事水产养殖的农民的总年收入，求a的最大值．

分析（1）由题中条件：“从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入”得到一个不等关系，列不等式得x的取值范围；
（2）问题先转化成一个不等关系，然后分离参数a，利用基本不等式及单调性求出最值得答案．

解答解：（1）由题意得3（100-x）（1+2x%）≥3×100，
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50，
∵x＞0，∴0＜x≤50；
（2）从事水产加工的农民的年总收入为3（a-$\frac{3x}{50}$）x万元，
从事水产种植农民的年总收入为3（100-x）（1+2x%）万元，
根据题意得，3（a-$\frac{3x}{50}$）x≤3（100-x）（1+2x%）恒成立，
即ax≤100+x+$\frac{{x}^{2}}{25}$恒成立．
又x＞0，∴a≤$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1恒成立，
而$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1≥2$\sqrt{\frac{100}{x}•\frac{x}{25}}$+1=5（当且仅当x=50时取得等号），
由（0，25]为$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1的递减区间，即有x=25时，取得最小值，且为4+1+1=6，
∴a的最大值为6．

点评本题主要考查函数在实际生活中的应用、考查了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，属中档题．