Question

13．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）在（e，f（e））处切线方程；
（2）求f（x）最小值；
（3）设F（x）=ax²+f′（x）（a≠0），讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线的方程；
（2）求得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最小值；
（3）求出函数的导数，并分解因式，讨论a=2，a＞2，0＜a＜2时，导数的符号，进而确定单调性．

解答 解：（1）f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，
f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为1+1=2，
切点为（e，e），则切线的方程为y-e=2（x-e），
即为2x-y-e=0；
（2）函数的定义域为（0，+∞），
求导函数，可得f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
∴0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，
∴x=$\frac{1}{e}$时，函数取得极小值，也是函数的最小值，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$•ln$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$；
（3）F（x）=ax²-（a+2）x+f′（x）=ax²-（a+2）x+1+lnx，
F′（x）=2ax-a-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
当a=2时，F′（x）≥0恒成立，函数递增；
当a＞2时，$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{a}$，由F′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{2}$或0＜x＜$\frac{1}{a}$，
由F′（x）＜0可得$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$．
可得f（x）在（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）递减，在（0，$\frac{1}{a}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）递增；
当0＜a＜2时，$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a}$，由F′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{a}$或0＜x＜$\frac{1}{2}$，
由F′（x）＜0可得$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{a}$．
可得f（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{a}$）递减，在（0，$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{a}$，+∞）递增．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，正确求导和分类讨论是解题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．