Question

（本小题满分14分）已知关于x的函数f(x)＝＋bx²＋cx＋bc，其导函数为f⁺(x)。令g(x)＝∣f⁺(x) ∣，记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M。
（Ⅰ）如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值；
（Ⅱ）若∣b∣>1，证明对任意的c，都有M>2；
（Ⅲ）若M≥K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）

本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）。
（I）解：，由在处有极值，
可得，
解得，或。
若，则，此时没有极值；
若，则，
当变化时，，的变化情况如下表：

				1
		0	+	0
		极小值		极大值

当时，有极大值，故，即为所求。
（Ⅱ）证法1：，
当时，函数的对称轴位于区间之外。
在上的最值在两端点处取得，
故应是和中较大的一个，
即。
证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，
在上的最值在两端点处取得。
故应是和中较大的一个。
假设，则
，将上述两式相加得：
，导致矛盾，。
（Ⅲ）解法1：，
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，
此时
由有
①若则，
于是
②若，则
于是
综上，对任意的、都有
而当时，在区间上的最大值
故对任意的、恒成立的的最大值为。
解法2：
（1）当时，由（Ⅱ）可知；
（2）当时，函数的对称轴位于区间内，
此时
，即
下同解法1