Question

20．Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD为圆O的直径，圆O与AC交于E，求证：$\frac{AE}{CE}$=$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$．

Answer 1

分析 连接DE，利用射影定理，结合平行线分线段成比例，即可证明结论．

解答 解：连接DE，
因为Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，
所以BC²=BD•BA，AC²=AD•BD，
所以$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{BD}$，
因为DE⊥AE，BC⊥AC，
所以DE∥BC，
所以$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AD}{BD}$，
所以：$\frac{AE}{CE}$=$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$．

点评 本题考查射影定理，平行线分线段成比例定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．