Question

14．如果f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”，给出下列命题：
①函数y=sinx具有“P（a）性质”；
②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；
③若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，则函数y=f（x）是周期函数；
④若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（-1，0）上单调递减，则y=f（x）在（-2，-1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；
其中正确的是①③④（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

分析 由条件：f（x+a）=f（-x）成立可得：函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{a}{2}$对称，是轴对称图形，
①根据正弦函数的对称轴即可判断；
②由“P（2）性质”得：f（x+2）=f（-x），由奇函数的性质推出函数的周期，由周期性求出f（2015）的值；
③由“P（0）性质”和“P（3）性质”列出等式，即可求出函数的周期；
④由“P（4）性质”得f（x+4）=f（-x），则f（x）关于x=2对称，即f（2-x）=f（2+x），由偶函数的性质和图象关于点（-1，0）成中心对称，即可得到答案．

解答 解：若对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，
则函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{a}{2}$对称，是轴对称图形，
①函数y=sinx的对称轴是x=$\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，则具有“P（a）性质”，①正确；
②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，则f（x+2）=f（-x）=-f（x），
所以f（x+4）=f（x），函数f（x）的周期是4，
由f（1）=1得，f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1）=-1，②不正确；
③∵恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，
∴f（x）=f（-x），f（x+3）=f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，且周期为3，③正确；
④∵函数y=f（x）具有“P（4）性质”，则f（x+4）=f（-x），
∴f（x）关于x=2对称，即f（2-x）=f（2+x），
∵图象关于点（1，0）成中心对称，
∴f（2-x）=-f（x），即f（2+x）=-f（-x），
则f（x）=f（-x），即f（x）为偶函数，
∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（-1，0）上单调递减，
∴图象也关于点（-1，0）成中心对称，且在（-2，-1）上单调递减，
根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增，④正确，
故答案为：①③④．

点评 本题考是新概念的题目，考查函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性的综合应用，主要运用抽象函数性质进行推理判断，难度较大，属于中档题．