题目内容
以抛物线y
2=4x的焦点为右焦点的椭圆,上顶点为B
2,右顶点为A
2,左、右焦点为F
1、F
2,且|
|cos∠B
2F
1F
2=
|
|,过点D(0,2)的直线l,斜率为k(k>0),l与椭圆交于M,N两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若M,N的中点为H,且
∥,求出斜率k的值;
(3)在x轴上是否存在点Q(m,0),使得以QM,QN为邻边的四边形是个菱形?如果存在,求出m的范围;否则,请说明理由.
(1)抛物线y
2=4x的焦点为(1,0),∴椭圆中c=1,
∵|
|cos∠B
2F
1F
2=
|
|,
∴b=
c=
,
∴a=2,
∴椭圆的标准方程为
+=1;
(2)设l:y=kx+2(k>0),M(x
1,y
1),N(x
2,y
2),
直线代入椭圆方程得(4k
2+3)x
2+16kx+4=0,
∴△=12k
2-3>0,
∵k>0,∴k>
,
且x
1+x
2=
,x
1x
2=
,
∴MN的中点H(
,
),
∵
∥,
∴
=,
∴k=
>
,
∴k=
;
(3)设在x轴上存在点Q(m,0),使得以QM,QN为邻边的四边形是个菱形,则HQ⊥MN,
∴
•k=-1,
∴m=-
=-
≥-
=-
,
当且仅当4k=
,即k=
时取等号,
又m=-
<0,
∴在x轴上存在点Q(m,0),使得以QM,QN为邻边的四边形是个菱形,m范围是[-
,0).
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