Question

【题目】已知函数 ，其中b是常数．
（1）若y=f（x）是奇函数，求b的值；
（2）求证：y=f（x）是单调增函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：设y=f（x）的定义域为D，

∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，

得b=1，此时， ，D=R，为奇函数

（2）解：设定义域内任意x1＜x2，

，

= =

当b≤0时，总有0＜x1＜x2， ， ，

∴ ，得h（x1）＜h（x2），

当b＞0时，∵x1﹣x2＜0， ， ，

∴ ，得h（x1）＜h（x2），

故总有f（x）在定义域上单调递增

【解析】（1）根据函数的奇偶性以及对数函数的性质求出b的值即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的奇偶性是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．