Question

设二次函数f（x）=x²-（2a+1）x+3
（1）若函数f（x）的单调增区间为[2，+∞），求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间[2，+∞）内是增函数，求a的范围．

Answer 1

分析：先将二次函数配方，找到其对称轴，明确单调性，再研究对称轴与区间的位置关系求解．
（1）根据函数f（x）的单调增区间为[2，+∞），得到

2a+1

2

=2，解此方程即可求得实数a的值；
（2）根据函数f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，得到

2a+1

2

≤2，解此不等式即可求得a的范围．

解答：解：函数y=x^2_-（2a+1）x+3=（x-

2a+1

2

）²+3-(

2a+1

2

)2
其对称轴为：x=

2a+1

2

（1）∵函数f（x）的单调增区间为[2，+∞），
∴

2a+1

2

=2，解得a=

3

2

；
（2）∵函数f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，

2a+1

2

≤2，解得a≤

3

2

．

点评：此题是个中档题．本题主要考查二次函数配方法研究其单调性，同时说明单调性与对称轴和开口方向有关．解题时注意（1）（2）的区别：单调增区间是[2，+∝），说明二次函数的对称轴是x=2；在区间[2，+∝）内是增函数，说明该区间是函数递增区间的子区间，因此二次函数的对称轴在该区间的左边．