题目内容
5.(1)已知0<x<2,求函数y=x(8-3x)的最大值;(2)已知x>1,求函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$的最小值.
分析 (1)变形函数y=x(8-3x)=$\frac{1}{3}×3x(8-3x)$,利用基本不等式的性质即可得出;
(2)变形函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$=$\frac{1}{2}\frac{(x-1)^{2}+1}{x-1}$=$\frac{1}{2}[(x-1)+\frac{1}{x-1}]$,利用基本不等式的性质即可得出.
解答 解:(1)∵0<x<2,∴函数y=x(8-3x)=$\frac{1}{3}×3x(8-3x)$≤$\frac{1}{3}(\frac{3x+8-3x}{2})^{2}$=$\frac{16}{3}$,
当且仅当x=$\frac{4}{3}$时取等号.∴函数y=x(8-3x)的最大值为$\frac{16}{3}$.
(2)∵x>1,∴函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$=$\frac{1}{2}\frac{(x-1)^{2}+1}{x-1}$=$\frac{1}{2}[(x-1)+\frac{1}{x-1}]$$≥\frac{1}{2}×2\sqrt{(x-1)×\frac{1}{x-1}}$=1,
当且仅当x=2时取等号.
∴函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2x-2}$的最小值为1.
点评 本题考查了基本不等式的性质、变形能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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