Question

设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式πf(x)＞(

1

π

)2-tx在t∈[-2，2]时恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用条件①得对称轴方程求得b=2a；再利用条件②求出b和a之间的另一关系式，联立即可求 f（x）的解析式；
（2）先利用π＞1把原不等式转化为

1

2

x2+x＞tx-2在t∈[-2，2]时恒成立，再把问题转化为一次函数的恒成立问题即可求实数x的取值范围．

解答：解：（1）∵由①f（x）=ax²+bx（a≠0）的对称轴方程是x=-1，
∴b=2a；
∵函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点，
∴

y=ax2+bx y=x

有且只有一解，
即ax²+（b-1）x=0有两个相同的实根；
故△=（b-1）²=0?b=1，a=

1

2

，
所以f（x）=

1

2

x2+x．
（2）∵π＞1∴πf(x)＞(

1

π

)2-tx?f（x）＞tx-2．
因为

1

2

x2+x＞tx-2在t∈[-2，2]时恒成立等价于
函数g（t）=xt-（

1

2

x²+x+2）＜0，t∈[-2，2]时恒成立；
∴

g(-2)＜0 g(2)＜0

?

x2-2x+4＞0 x2+6x+4＞0

?x＜-3-

5

，x＞-3+

5

故实数x的取值范围是（-∞，-3-

5

）∪（-3+

5

，+∞）．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法以及函数恒成立问题．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．