题目内容
(本小题满分14分)
已知函数为常数)是实数集上的奇函数,函数
在区间上是减函数.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若在上恒成立,求实数的最大值;
(Ⅲ)若关于的方程有且只有一个实数根,求的值.
(Ⅰ);(Ⅱ) ;(Ⅲ)
解析试题分析:(Ⅰ)是实数集上奇函数,
,即 ……2分.
将带入,显然为奇函数. ……3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
要使是区间上的减函数,则有在恒成立,,所以. ……5分
要使在上恒成立,
只需在时恒成立即可.
(其中)恒成立即可. ………7分
令,则即
,所以实数的最大值为 ………9分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知方程,即,
令
当时,在上为增函数;
当时,在上为减函数;
当时,. ………………11分
而
当时是减函数,当时,是增函数,
当时,. ………………12分
只有当,即时,方程有且只有一个实数根. …………14分
考点:本题考查了导函数的运用
点评:近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想(分类与整合、数与形的结合)方法(分析法、综合法、反证法)的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合
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