题目内容
过抛物线L:
的焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点,
①求
;
②记坐标原点为O,求△OAB的重心G的轨迹方程.
③点
为抛物线L上一定点,M、N为抛物线上两个动点,且满足
,当点M、N在抛物线上运动时,证明直线MN过定点。

①求

②记坐标原点为O,求△OAB的重心G的轨迹方程.
③点



①
②
③证明见解析。

②

③证明见解析。
①由F(1,0),设直线l的方程为
联立得
……2分
由
…………4分
②设
…………5分
由
……7分
化简得轨迹方程为
…………9分
③证明:由直线MN的方程不可能与x轴平行
可设直线MN的方程为
分别相减得 
由
,
∴
即
(*式) …………11分
联立
有
,
所以
,代入直线MN的方程有


由


②设

由

化简得轨迹方程为

③证明:由直线MN的方程不可能与x轴平行
可设直线MN的方程为



由

∴

即

联立

有

所以



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