题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率
,椭圆
的上、下顶点分别为
,
,左、右顶点分别为
,
,左、右焦点分别为
,
.原点到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是椭圆上异于
,
的任一点,直线
,
,分别交
轴于点
,
,若直线
与过点
,
的圆
相切,切点为
,证明:线段
的长为定值,并求出该定值.
【答案】(1); (2)证明见解析;长度为定值2
【解析】
(1)根据题意,设,可得
,求得
,结合圆心到直线的距离公式,列出方程,求得
,进而求得椭圆的标准方程;
(2)设,求得直线
和
的方程,分别令
,求得
,得到圆
的圆心坐标,再结合圆的弦长公式和椭圆的方程,即可求解.
(1)由题意,椭圆:
的离心率
,即
设,可得
,则
,
可得,
可得直线方程为
,即
,
所以原点到直线的距离为
,解得
,
所以,
,椭圆方程为
.
(2)由(1)可知,
,设
,
直线:
,令
,得
;
直线:
,令
,得
;
设圆的圆心为
,
则,
,
所以,
而,所以
,
代入可得,即
,即线段
的长度为定值2.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为抗击新冠疫情,某企业组织员工进行用款捐物的爱心活动.原则上每人以自愿为基础,捐款不超过400元.现项目负责人统计全体员工数据后,下表为随机抽取的10名员工.的捐款数额.
员工编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
捐款数额 | 124 | 86 | 215 | 53 | 132 | 195 | 400 | 90 | 300 | 225 |
(1)若从这10名员工中任意选取3人,记选到的3人中捐款数额大于200元的人数为X,求X的分布列和数学期望:
(2)以表中选取的10人作为样本.估计该企业全体员工的捐款情况,现从企业员工中依次抽取8人,若抽到k人的捐款数额小于200元的可能性最大,求k的值.
【题目】某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第1组,第2组
,第3组
,第4组
,第5组
,得到的频率分布直方图如图所示.
区间 | |||||
人数 | 50 | 50 | a | 150 | b |
(1)上表是年龄的频数分布表,求正整数的值;
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,年龄在第1,2,3组的人数分别是多少?
(3)在(2)的前提下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求至少有1人年龄在第3组的概率.