Question

【题目】在中，，，，已知，分别是，的中点，将沿折起，使到的位置如图所示，且，连接，．

（1）求证：平面平面．

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点分别为，连接，根据已知可得平面， 为等边三角形，可证平面，再证，从而有平面，即可证明结论；

（2）以为坐标原点建立如下图坐标系，确定出坐标，求出平面的法向量坐标，根据空间向量二面角公式即可求解.

（1）取，的中点分别为，，连接，，．

如图所示，则，

，

所以平面平面 ，

，所以，

因为，是的中点，所以为等边三角形，

所以，又因为平面，

平面，，所以平面．

，四边形为平行四边形，所以，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面．

（2）以为坐标原点，在平面内与垂直的直线为轴，

所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，

平面的一个法向量，

设平面的法向量，，

，所以，令，

则 ，所以，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的大小为．